Question

若记函数y在x处的值为f（x），（例如y=x²，也可记着f（x）=x²）已知函数f（x）=ax²+bx+c的图象如图所示，且ax²+（b-1）x+c＞0对所有的实数x都成立，则下列结论成立的有

 

．
（1）ac＞0，
（2）

(b-1)2

4

＜ac，
（3）对所有的实数x都有f（x）＞x，
（4）对所有的实数x都有f（f（x））＞x．

Answer 1

分析：（1）抛物线开口向上，则a＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方，则c＞0，可判断（1）正确；
（2）根据ax²+（b-1）x+c＞0对所有的实数x都成立，可得到抛物线与x轴没有交点，则△＜0，变形△＜0即可对（2）进行判断；
（3）把ax²+（b-1）x+c＞0进行变形即可得到ax²+bx+c＞x；
（4）把f（x）作为变量得到f（f（x））＞f（x），即有（4）的结论．

解答：解：（1）观察图象得，a＞0，c＞0，则ac＞0，所以（1）正确；

（2）∵ax²+（b-1）x+c＞0对所有的实数x都成立，且a＞0，
∴y=ax²+（b-1）x+c的图象在x轴上方，
∴△＜0，即（b-1）²-4ac＜0，
∴

(b-1)2

4

＜ac，所以（2）正确；

（3）∵ax²+（b-1）x+c＞0对所有的实数x都成立，
∴ax²+bx+c＞x对所有的实数x都成立，
即对所有的实数x都有f（x）＞x，所以（3）正确；

（4）由（3）得对所有的实数x都有f（x）＞x，
∴f（f（x））＞f（x），
∴对所有的实数x都有f（f（x））＞x．

故答案为（1）、（2）、（3）、（4）．

点评：本题考查了二次函数ax²+bx+c=0（a≠0）的有关性质：a＞0，开口向上；a＜0，开口向下；c＞0，抛物线与y轴的交点在x轴上方；c=0，过原点；c＜0，抛物线与y轴的交点在x轴下方；△＞0，抛物线与x轴有两个交点；△=0，抛物线与x轴有一个公共点；△＜0，抛物线与x轴没有个公共点．也考查了代数式的变形能力．