Question

如图，点C是直径为AB的半圆O上一点，D为

BC

中点，过D作AC的垂线，垂足为E．求证：DE是半圆的切线．

Answer 1

分析：先连接OD，BC，由于AB是直径可知∠ACB=90°，即AC⊥BC，而D为弧BC的中点，根据垂径定理的推论可知OD⊥BC，易证OD∥AE，而AE⊥DE，从而有OD⊥DE，即DE是⊙O的切线．

解答：证明：连接OD，BC，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
又∵

CD

=

DB

，
∴OD⊥BC，
∴OD∥AE，
∵AE⊥DE，
∴OD⊥DE，
∴DE是半圆的切线．

点评：本题考查了切线的判定、平行线的判定和性质．解题的关键是连接OD，BC，证明OD∥AE．