Question

（2012•武汉模拟）如图，E为正方形ABCD的边CD的中点，经过A、B、E三点的⊙O与边BC交于点F，P为

AB

上任意一点．若正方形ABCD的边长为4，则sin∠P的值为（　　）

• A．

  2

  2

• B．

  3

  4

• C．

  3

  5

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：首先连接AF，AE，EF，由四边形ABCD是正方形，易得AF是直径，继而可证得△CFE∽△DEA，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得CF的长，继而求得BF与AF的长，又由∠P=∠BAF，即可求得答案．

解答：解：连接AF，AE，EF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABF=∠C=∠D=90°，
∴AF是⊙O的直径，
∴∠AEF=90°，
∴∠FEC+∠CFE=90°，∠FEC+∠AED=90°，
∴∠CFE=∠DEA，
∴△CFE∽△DEA，
∴CF：DE=CE：AD，
∵AD=4，E是CD的中点，
∴DE=CE=2，
∴

CF

2

=

2

4

，
解得：CF=1，
∴BF=BC-CF=4-1=3，
∴AF=

AB2+BF2

=5，
∵∠P=∠BAF，
∴sin∠P=sin∠BAF=

BF

AF

=

3

5

．
故选C．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、正方形的性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．