Question

已知：等边△ABC的边长为a，

探究（1）：如图1，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG，求证：△MNG是等边三角形且MN=；
探究（2）：在等边△ABC内取一点O，过点O分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分别为点D、E、F。
①如图2，若点O是△ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1：OD+OE+OF=；结论2：AD+BE+CF=；
②如图3，若点O是等边△ABC内任意一点，则上述结论1，2是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由。

Answer 1

解：（1）如图，∵为等边三角形 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 同理： ∴为等边三角形 在中， 在中， ∴。
（2）结论1成立 证明：如图，连接 由 作，垂足为H 则 ∴ ∴ ∴。
结论2成立 证明：如图，过顶点依次作边的垂线围成 由（1）得为等边三角形且 过点O分别作于，于于点于点 由结论1得：   又∵ ∴ ∴四边形为矩形 ∴ 同理： ∴。