Question

如图，△OAB的底边经过⊙O上的点C，且OA=OB，CA=CB，⊙O与OA、OB分别交于D、E两点．

（1）求证：AB是⊙O的切线；

（2）若D为OA的中点，阴影部分的面积为，求⊙O的半径r．

 

Answer 1

【答案】

（1）连接OC，由OA＝OB，CA＝CB根据等腰三角形的性质即可证得结论；（2）1

【解析】

试题分析：（1）连接OC，由OA＝OB，CA＝CB根据等腰三角形的性质即可证得结论；

（2）先根据D为OA的中点可得OA的长，即可求得∠A＝30°，∠AOC＝60°，AC＝r，则可得∠AOB＝120°，AB＝2r，最后根据S_阴影部分＝S_△OAB－S_扇形ODE即可求得结果.

（1）连接OC

∵OA＝OB，CA＝CB

∴OC⊥AB

∴AB是⊙O的切线；

（2）∵D为OA的中点，OD＝OC＝r

∴OA＝2OC＝2r

∴∠A＝30°，∠AOC＝60°，AC＝r

∴∠AOB＝120°，AB＝2r

∴S_阴影部分＝S_△OAB－S_扇形ODE＝?OC?AB－＝－，

∴?r?2r－r²＝－

解得r＝1，即⊙O的半径r为1.

考点：切线的判定，垂径定理，含30°的直角三角形的性质，三角形的面积公式

点评：此类问题知识点较多，是小综合题，在中考中比较常见，一般难度不大，需熟练掌握