Question

如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径．点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D.

【小题1】求证：CD为⊙O的切线；
【小题2】若DC+DA=6，⊙O的直径为10，求AB的长.

Answer 1

【小题1】证明：连接OC,
∵OA=OC,
∴∠OCA=∠OAC.
∵CD⊥PA，
∴∠CDA=90°，
∴∠CAD+∠DCA=90°，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC=∠CAO.………………1分
∴∠DCO="∠DCA+∠ACO=∠DCA+∠CAO=∠DCA+∠DAC=90°."
∴CD为⊙O的切线． …………………………2分
【小题2】解：过O作OF⊥AB，垂足为F，

∴∠OCA=∠CDA=∠OFD=90°，
∴四边形OCDF为矩形，
∴OC=FD，OF=CD.
∵DC+DA=6，设AD=x，则OF=CD=6-x， ……………………3分
∵⊙O的直径为10，
∴DF=OC=5，∴AF=5-x，
在Rt△AOF中，由勾股定理得.
即，化简得：
解得或（舍）. ………………………4分
∴AD="2," AF=5-2=3.
∵OF⊥AB，
AB="2AF=6." ………………………..5分解析:
（1）证明∠DCO=90°即可求得CD为⊙O的切线，
（2）过O作OF⊥AB，构建一个矩形，利用勾股定理求得相关线段，从而求得AB的长。