Question

已知四边形ABCD中，AB=CD，G、H分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交GH的延长线于点E、F，猜想∠AEH与∠DFH的关系，并说明理由．

Answer 1

分析：如图，连接BD，做BD的中点M，连接HM、GM．利用三角形中位线定理证得△HMG是等腰三角形，则∠MHG=∠MGH．利用三角形中位线定理、平行线的性质推知∠MHG=∠AEH，∠MGH=∠DFH．根据等量代换证得∠AEH=∠DFH．

解答：解：∠AEH=∠DFH．理由如下：
如图，连接BD，做BD的中点M，连接HM、GM．
∵点H是AD的中点，
∴在△ABD中，HM∥AB，HM=

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AB，
∴∠MHG=∠AEH
同理可证：GM∥CD，GM=

1

2

CD．
∴∠MGH=∠DFH．
又∵AB=CD，∴GM=HM，
∴∠MHG=∠MGH 即∠AEH=∠DFH．

点评：此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．