Question

    如图1，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE、BF，交点为G．

    (1)求证：AE⊥BF；

    (2)将△BCF沿BF对折，得到△BPF（如图2），延长FP交BA的延长线于点Q，求sin∠BQP的值；

    (3)将△ABE绕点A逆时针方向旋转，使边AB正好落在AE上，得到△AHM（如图3），若AM和BF相交于点N，当正方形ABCD的面积为4时，求四边形GHMN的面积．

 

Answer 1

    (1)证明：∵E、F分别是正方形ABCD边BC、CD的中点，∴CF=BE，  

    ∵Rt△ABE≌Rt△BCF   ∴∠BAE=∠CBF

又∵∠BAE+∠BEA=90⁰，∴∠CBF+∠BEA=90⁰，

∴∠BGE=90⁰，  ∴AE⊥BF    

    (2)根据题意得：FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90⁰，    

    ∵CD∥AB,     ∴∠CFB=∠ABF，∴∠ABF=∠PFB．∴QF=QB     

    令PF=k（k>O），则PB=2k，

    在Rt△BPQ中，设QB=x，   ∴x²=(x-k)²+4k²,  ∴x=k,

   ∴sin∠BQP=   

   由题意得：∠BAE=∠EAM,又AE⊥BF,  ∴AN=AB=2,

   ∵ ∠AHM=90⁰,  ∴GN//HM,  .  

   ∴  ∴

 ∴ 四边形GHMN=SΔAHM - SΔAGN=1一=    

所以四边形GHMN的面积是