题目内容
如图，已知：抛物线y=ax2+bx-4（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，A、B两点的坐标分别为A（-6，0）、B（2，0）．（1）求这条抛物线的函数表达式；
（2）已知在抛物线的对称轴上存在一点P，使得PB+PC的值最小，请求出点P的坐标；
（3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】分析：（1）把A、B的坐标代入二次函数的解析式，即可得到方程组求得a，b的值，从而得到函数的解析式；
（2）求出C关于对称轴的对称点C′坐标，然后利用待定系数法求得直线BC′的解析式，与对称轴的交点就是P；
（3）求得DE的解析式，进而得到PF、OE的长度，根据S=
PF•OE即可求得函数的解析式．
解答：
解：（1）根据题意得：
，
解得：
，
则抛物线的函数表达式是：y=
x2+
x-4；
（2）在：y=
x2+
x-4，中令x=0，解得y=-4，则C的坐标是（0，-4）．
二次函数的解析式是：x=-
=-2，
C关于x=-2的对称点C′的坐标是（-4，-4）．
设直线BC′的解析式是y=kx+b，
则
，
解得：
，
在直线的解析式是：y=
x-
，令x=-2，解得y=-
，
则P的坐标是：（-2，-
）；
（3）设D的坐标是（0，c），
设直线PC的解析式是y=ex+f，则
，
解得：
，
则直线的解析式是：y=-
x-4，
因为CD=m，则D的坐标是（m-4，0），则直线DE的解析式是：y=-
x+（m-4）．
令x=-2，解得：y=m-
，故F的坐标是（-2，m-
），则PF=m，
令y=0，解得：x=
m-6．即OE=6-
m．
E的面积为S=
PF•OE=
m（6-
m），
即S=-
m2+3m（0＜m＜4）．
当x=
=2时，有最大值是：3．
点评：本题考查了对称点的性质，待定系数法求函数的解析式，直线平行的条件的综合应用，求得DE的解析式是关键．
（2）求出C关于对称轴的对称点C′坐标，然后利用待定系数法求得直线BC′的解析式，与对称轴的交点就是P；
（3）求得DE的解析式，进而得到PF、OE的长度，根据S=
PF•OE即可求得函数的解析式．解答：
解：（1）根据题意得：，解得：
，则抛物线的函数表达式是：y=
x2+x-4；（2）在：y=
x2+x-4，中令x=0，解得y=-4，则C的坐标是（0，-4）．二次函数的解析式是：x=-
=-2，C关于x=-2的对称点C′的坐标是（-4，-4）．
设直线BC′的解析式是y=kx+b，
则
，解得：
，在直线的解析式是：y=
x-，令x=-2，解得y=-，则P的坐标是：（-2，-
）；（3）设D的坐标是（0，c），
设直线PC的解析式是y=ex+f，则
，解得：
，则直线的解析式是：y=-
x-4，因为CD=m，则D的坐标是（m-4，0），则直线DE的解析式是：y=-
x+（m-4）．令x=-2，解得：y=m-
，故F的坐标是（-2，m-），则PF=m，令y=0，解得：x=
m-6．即OE=6-m．E的面积为S=
PF•OE=m（6-m），即S=-
m2+3m（0＜m＜4）．当x=
=2时，有最大值是：3．点评：本题考查了对称点的性质，待定系数法求函数的解析式，直线平行的条件的综合应用，求得DE的解析式是关键．
练习册系列答案
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，且OA⊥AB，∠COB=45°．
如图，已知：抛物线y1=x2-2mx+1，y2=-x2-2mx-1，CE、DF分别是抛物线y1、y2的对称轴．
需写出解题步骤）．
（2011•利川市一模）如图，已知：抛物线y=ax2+bx-4（a≠0）与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，A、B两点的坐标分别为A（-6，0）、B（2，0）．