题目内容
（2012•义乌市）如图，已知点A（0，2）、B（2
，2）、C（0，4），过点C向右作平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连
接AP，以AP为边在其左侧作等边△APQ，连接PB、BA．若四边形ABPQ为梯形，则：
（1）当AB为梯形的底时，点P的横坐标是
；
（2）当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是
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接AP，以AP为边在其左侧作等边△APQ，连接PB、BA．若四边形ABPQ为梯形，则：（1）当AB为梯形的底时，点P的横坐标是
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（2）当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是
0或2
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0或2
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分析：首先根据题意画出符合题意的图形，（1）当AB为梯形的底时，PQ∥AB，可得Q在CP上，由△APQ是等边三角形，CP∥x轴，即可求得答案；
（2）当AB为梯形的腰时，AQ∥BP，易得四边形ABPC是平行四边形，即可求得CP的长，继而可求得点P的横坐标．
（2）当AB为梯形的腰时，AQ∥BP，易得四边形ABPC是平行四边形，即可求得CP的长，继而可求得点P的横坐标．
解答：解：（1）如图1：当AB为梯形的底时，PQ∥AB，
∴Q在CP上，
∵△APQ是等边三角形，CP∥x轴，
∴AC垂直平分PQ，
∵A（0，2），C（0，4），
∴AC=2，
∴PC=AC•tan30°=2×
=
，
∴当AB为梯形的底时，点P的横坐标是：
；
（2）如图2，当AB为梯形的腰时，AQ∥BP，
∴Q在y轴上，
∴BP∥y轴，
∵CP∥x轴，
∴四边形ABPC是平行四边形，
∴CP=AB=2
，
如图3，当C与P重合时，
∵A（0，2）、B（2
，2），
∴tan∠APB=
=
，
∴∠APQ=60°，
∵△APQ是等边三角形，
∴∠PAQ=60°，
∴∠ACB=∠PAQ，
∴AQ∥BP，
∴当C与P重合时，四边形ABPQ以AB为腰的梯形，
此时点P的横坐标为0；
∴当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是：0或2
．
故答案为：（1）
，（2）0或2
．
∴Q在CP上，
∵△APQ是等边三角形，CP∥x轴，
∴AC垂直平分PQ，
∵A（0，2），C（0，4），
∴AC=2，
∴PC=AC•tan30°=2×
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2
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∴当AB为梯形的底时，点P的横坐标是：
2
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（2）如图2，当AB为梯形的腰时，AQ∥BP，
∴Q在y轴上，
∴BP∥y轴，
∵CP∥x轴，
∴四边形ABPC是平行四边形，
∴CP=AB=2
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如图3，当C与P重合时，
∵A（0，2）、B（2
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∴tan∠APB=
2
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∴∠APQ=60°，
∵△APQ是等边三角形，
∴∠PAQ=60°，
∴∠ACB=∠PAQ，
∴AQ∥BP，
∴当C与P重合时，四边形ABPQ以AB为腰的梯形，
此时点P的横坐标为0；
∴当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是：0或2
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故答案为：（1）
2
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点评：此题考查了梯形的性质与等边三角形的性质．此题难度适中，解题的关键是根据题意画出符合要求的图形，然后利用数形结合思想求解．
练习册系列答案
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