题目内容

如图，已知直线l的函数表达式为y=- $数学公式$ x+8，且l与x轴、y轴分别交于A、B两点，动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位的速度向点A移动，同时动点P从A点开始在线段AO上以每秒1个单位的速度向O点移动，设点Q、P移动时间为t秒．
（1）求点A、B的坐标．
（2）当t为何值时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？
（3）求出（2）中当以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似时，线段PQ的长度．

解：（1）y=- $\text{[math]}$ x+8，
当x=0时，y=8，
当y=0时，x=6，
答案为：点A的坐标为：（6，0），点B的坐标为：（0，8）．

（2）此题有两种情况：
在△ABO中∠BOA=90°，OA=6，OB=8，由勾股定理得：AB=10，
∵∠BAO=∠BAO，BQ=2t，AQ=10-2t，AP=t，
第一种情况：
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时，△AQP∽△ABO，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得：t= $\text{[math]}$ ，
第二种情况：
当 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 时△AQP∽△AOB，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得：t= $\text{[math]}$ ．
答案为：当t为 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 时，以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似．

（3）∵以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似，
当t= $\text{[math]}$ 时，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得：PQ= $\text{[math]}$
当t= $\text{[math]}$ 时，
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得PQ= $\text{[math]}$ ，
答案为：当以点A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似时，线段PQ的长度是 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）小题利用X轴 Y轴的坐标特点代入y=- $\text{[math]}$ x+8，即可求出点A、B的坐标；
（2）（3）小题由已知相似得到比例式，代入即可求出t和PQ的长度，注意（2）（3）都有两种情况．
点评：解此题的关键是利用相似三角形的性质得到正确的比例式，难点是正确进行分类讨论．此题题型较好，难度适中．