Question

已知二次函数y=ax²+bx+c，对任意实数x都有x≤ax²+bx+c≤(

x+1

2

)2成立．
（1）当x=1时，求y的值；
（2）若当x=-1时，y=0，求a、b、c的值．

Answer 1

分析：（1）解此题首先要理解题意，因为x≤ax²+bx+c≤(

x+1

2

)2，所以得x≤y≤(

x+1

2

)2，把x=1代入这个不等式中，观察不等式求解；
（2）将点（1，1），（-1，0）代入函数解析式，再利用不等式关系即可求得．

解答：解：（1）∵x≤ax²+bx+c≤(

x+1

2

)2，y=ax²+bx+c，
∴x≤y≤(

x+1

2

)2，
∴当x=1时，1≤y≤(

1+1

2

)2=1，
∴y=1；

（2）由（1）知：

a+b+c=1 a-b+c=0

，解得

b= 1 2 c= 1 2 -a

，
∴y=ax2+

1

2

x+

1

2

-a，
∵y≥x，
∴ax2+

1

2

x+

1

2

-a≥x，
即ax²-

1

2

x+

1

2

-a≥0恒成立，
故△=

1

4

-4a（

1

2

-a）≤0，即（a-

1

4

）²≤0，
∴a=

1

4

，c=

1

4

，
代入检验y≤(

x+1

2

)2也恒成立，
∴a=

1

4

，b=

1

2

，c=

1

4

．

点评：本题考查了用待定系数法求函数解析式的方法，不过条件比较复杂，解题时要认真审题，理解题意．