Question

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，E、F是BC的三等分点，过点C、E、F分别作AB的垂线，垂足分别为D、G、H，连接AE、AF，分别交CD、EG于M、N，记△CME的面积为S₁，△ENF的面积为S₂，△FHB的面积为S₃，则

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

的值是

 

．

Answer 1

分析：根据题意可以求出CD、EG、FH的长，△FHB是等腰直角三角形，面积容易得到，△CME与△ENF中EN，CM边上的高都等于BH的长．
根据相似三角形的性质就可以求出EN、CM的长．就可以求出两个三角形的面积．

解答：解：BF=EF=CE=2，△BFH是等腰直角三角形，因而BH=2×

2

2

=

2

，
S₃=1，根据CD∥EG∥FH，BF=EF=CE，
则△CME与△ENF中，EN、CM边上的高都等于BH=

2

，
△BCD是等腰直角三角形，
因而CD=6×

2

2

=3

2

，
根据

EG

CD

=

BG

BD

=

2

3

，
因而EG=

2

3

CD=2

2

，

DM

EG

=

3

4

，
则MD=

3

4

EG=

3 2

2

，
则CM=

3 2

2

，
△CME的面积S₁=

1

2

×CM×

2

=

3

2

，
同理S₂=

6

5

，
因而

1

S1

+

1

S2

+

1

S3

的值是

5

2

．

点评：本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应边的比相等．善于发现题目中的相似三角形是解决本题的关键．