Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx经过P（1，6），E（4，0）过P点作平行于x轴的直线PC交y轴于C点，以OC为边作矩形COAB，点A在x轴上，AB边交抛物线于点D，BC边与抛物线的另一交点为F．
（1）求图中抛物线的解析式；
（2）根据图象直接写出x取______时，ax²+bx＞6；
（3）若BD=AD，求矩形COAB的面积．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx经过P（1，6），E（4，0），
∴，
解得：，
∴y=-2x²+8x；

（2）当6=-2x²+8x时，
解得：x₁=1，x₂=3，
利用图象可得出：当1＜x＜3时，ax²+bx＞6；

（3）∵B点的纵坐标与P点的纵坐标相同，
设B（m，6），
∵BD=AD，∴D（m，3），
∴3=-2m²+8m，
解得：m=，
依图可知：D（，3），
∴B（，6），
∴矩形COAB的面积=×6=12+3．
故答案为：1＜x＜3．
分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）根据-2x²+8x=6求出x的值，进而得出ax²+bx＞6时x的取值范围；
（3）根据B，P点纵坐标相同，求出B，D坐标，进而得出矩形COAB的面积．
点评：此题主要考查了二次函数综合应用以及矩形的面积计算等知识，利用数形结合得出B，D坐标是解题关键．