Question

在如图△ABC中，∠A=52°，∠ABC与∠ACB的角平分线交于点D₁，∠ABD₁与∠ACD₁的角平分线交于点D₂，依此类推，若∠ABD₅与∠ACD₅的角平分线交D₆，则∠BD₆C的度数

54°

．

Answer 1

分析：根据角平分线的性质可得到：∠ABD₁=∠CBD₁=

1

2

∠ABC，∠ACD₁=∠BCD₁=

1

2

∠ACB，再根据三角形的内角和定理可得：∠BD₁C的度数，再根据∠ABD₁与∠ACD₁的角平分线交于点D₂，可得∠D₂BC=

3

4

∠ABC，∠D₂CB=

3

4

∠ACB，进而求出∠BD₂C=180°-

3

4

（∠ABC+∠ACB），以此类推可得到：∠BD₆C=180°-

63

64

（∠ABC+∠ACB），再次利用三角形内角和代入∠ABC+∠ACB=180°-∠A，即可求出答案．

解答：解：∵∠A=52°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-52°=128°，
∵∠ABC与∠ACB的角平分线交于D₁，
∴∠ABD₁=∠CBD₁=

1

2

∠ABC，∠ACD₁=∠BCD₁=

1

2

∠ACB，
∴∠CBD₁+∠BCD₁=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

×128°=64°，
∴∠BD₁C=180°-

1

2

（∠ABC+∠ACB）=180°-64°=116°，
∵∠ABD₁与∠ACD₁的角平分线交于点D₂，
∴∠D₂BC=

3

4

∠ABC，∠D₂CB=

3

4

∠ACB，
∴∠D₂BC+∠D₂CB=

3

4

（∠ACB+∠ABC），
∴∠BD₂C=180°-

3

4

（∠ABC+∠ACB）=180°-

3

4

（180°-∠A）=180°-96°=84°，
依此类推，∠BD₆C=180°-

63

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（∠ABC+∠ACB）=180°-

63

64

（180°-∠A）=180°-126°=54°．
故答案为：54°．

点评：此题主要考查角平分线的性质和三角形的内角和定理，关键是根据三角形的角平分线的性质求出∠ABC+∠ACB与∠A的关系，并能找出∠BD_nC与∠A的关系规律．