Question

如图（1），在直角△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E在AC上，BE交CD于点G，EF⊥BE交AB于点F，若AC=mBC，CE=nEA（m，n为实数）．试探究线段EF与EG的数量关系．

（1）如图（2），当m=1，n=1时，EF与EG的数量关系是

 

．证明：
（2）如图（3），当m=1，n为任意实数时，EF与EG的数量关系是

 

．证明：
（3）如图（1），当m，n均为任意实数时，EF与EG的数量关系是

 

．（写出关系式，不必证明）

Answer 1

分析：本题需要寻找相似三角形，并利用相似三角形的性质依次推理得出结论．

解答：证明：（1）如图1，连接DE，
∵AC=mBC，CD⊥AB，当m=1，n=1时
∴AD=BD，∠ACD=45°，
∴CD=AD=

1

2

AB，
∵AE=nEC，
∴DE=AE=EC=

1

2

AC，
∴∠EDC=45°，DE⊥AC，
∵∠A=45°，
∴∠A=∠EDG，
∵EF⊥BE，
∴∠AEF+∠FED=∠FED+∠DEG=90°，
∴∠AEF=∠DEG，
∴△AEF≌△DEG（ASA），
∴EF=EG．

（2）解：EF=

1

n

EG，
证明：如图2，作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，
∵EM∥CD，
∴△AEM∽△ACD，
∴

EM

CD

=

AE

AC

=

1

n+1

，
即EM=

1

n+1

CD，
∵EN∥AD，
∴△CEN∽△CAD，
∴

EN

AD

=

CE

AC

=

n

n+1

∴EN=

n

n+1

AD，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴

CD

AD

=

BC

AC

=1，
∴

EM

EN

=1×

1

n

=

1

n

，
又∵EM⊥AB，EN⊥CD，
∴∠EMF=∠ENG=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠FEM=∠GEN，
∴△EFM∽△EGN，
∴

EF

EG

=

EM

EN

=

1

n

，
即EF=

1

n

EG；

（3）证明：如图2，作EM⊥AB于点M，EN⊥CD于点N，
∵EM∥CD，
∴△AEM∽△ACD，
∴

EM

CD

=

AE

AC

=

1

n+1

，
即EM=

1

n+1

CD，
∵EN∥AD，
∴△CEN∽△CAD，
∴

EN

AD

=

CE

AC

=

n

n+1

∴EN=

n

n+1

AD，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠ACB=∠ADC=90°，
又∵∠A=∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴

CD

AD

=

BC

AC

=

1

m

，
∴

EM

EN

=

1

m

×

1

n

=

1

mn

，
又∵EM⊥AB，EN⊥CD，
∴∠EMF=∠ENG=90°，
∵EF⊥BE，
∴∠FEM=∠GEN，
∴△EFM∽△EGN，
∴

EF

EG

=

EM

EN

=

1

mn

，
即EF=

1

mn

EG．

点评：此题主要考查学生对相似三角形的判定与性质和勾股定理的理解和掌握，解答此题的关键是要懂得找相似三角形，利用相似三角形的性质求解，难度较大．