题目内容
如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=BD．（1）求证：∠ADB=∠BAC；
（2）若△ACD也是等腰三角形，求∠B的度数．
分析：（1）分别证得∴∠BAC=180°-2∠B和∠ADB=180°-2∠B，即可证得∠ADB=∠BAC；
（2）分AC=CD、AD=CD和AD=AC三种情况讨论即可得到所求的结论．
（2）分AC=CD、AD=CD和AD=AC三种情况讨论即可得到所求的结论．
解答：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠BAC=180°-2∠B，
同理，∵AD=BD，
∴∠ADB=180°-2∠B，
∴∠ADB=∠BAC．
（2）若△ACD为等腰三角形，分三种情况讨论：
①当AC=CD，即∠C+2∠B=180，
∵∠B=∠C，
∴∠B=30°；
②当AD=CD，即∠DAC=∠C，
∵∠B=∠BAD=∠C，
∴B=∠DAC
∴4∠=180°
∴∠B=45°；
③当AD=AC，即∠ADC=∠C时，
∵∠B+∠BAD=∠ADC，
∴∠ADC＞∠B
∵∠B=∠C
∴AD≠AC
综上，∠B=30°或45°；
∴∠B=∠C，
∴∠BAC=180°-2∠B，
同理，∵AD=BD，
∴∠ADB=180°-2∠B，
∴∠ADB=∠BAC．
（2）若△ACD为等腰三角形，分三种情况讨论：
①当AC=CD，即∠C+2∠B=180，
∵∠B=∠C，
∴∠B=30°；
②当AD=CD，即∠DAC=∠C，
∵∠B=∠BAD=∠C，
∴B=∠DAC
∴4∠=180°
∴∠B=45°；
③当AD=AC，即∠ADC=∠C时，
∵∠B+∠BAD=∠ADC，
∴∠ADC＞∠B
∵∠B=∠C
∴AD≠AC
综上，∠B=30°或45°；
点评：本题考查了等腰三角形的性质，特别是第（2）题中的分类讨论思想更是在等腰三角形中有着广泛的应用．
练习册系列答案
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