Question

如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连接BD并延长与CE交于点E．
（1）求证：△ABD∽△CED；
（2）若CD：AD=1：2，△CED的面积是a，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）由等边三角形可得∠A=∠ACB=60°，再由角平分线的性质可得∠A=∠ACE=60°，再由对顶角即可得出相似；
（2）根据想是三角形的面积比等于其对应边的平方比，进而求解即可．

解答：解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ACB=60°，
∴∠ACF=180°-∠ACB=180°-60°=120°，
∵CE是∠ACF的平分线，
∴∠ACE=

1

2

∠ACF=

1

2

×120°=60°，
∴∠A=∠ACE=60°，
∵∠1=∠2，
∴△ABD∽△CED，

（2）∵△ABD∽△CED，
∴

S△CED

S△ABD

=(

CD

AD

)2=

1

4

∴S_△ABD=4a，
∵

S△BCD

S△ABD

=

CD

AD

=

1

2

∴S_△BCD=2a，
∴S_△ABC=S_△ABD+S_△BCD=4a+2a=6a，

点评：本题主要考查了相似三角形的判定及性质问题，应熟练掌握并运用．