题目内容
(2007，重庆，28)解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤．
已知，在Rt△OAB中，∠OAB=90°．∠BOA=30°，AB=2．若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内．将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．
(1)求点C的坐标；
(2)若抛物线
经过C、A两点，求此抛物线的解析式；
(3)若抛物线的对称轴与OB交于点D，点P为线段DB上一点，过P作y轴的平行线，交抛物线于点M．问：是否存在这样的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
(注：抛物线
的顶点坐标为(
，
)，对称轴公式为
)
答案：略
解析：
解析：
|
解： (1)过点C作CH⊥x轴，垂足为H，因为在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，AB=2，所以OB=4， ．
由折叠知，∠ COB=30°， ．
所以∠ COH=60°，所以 ， ．所以C( ，3)．
(2) 因为抛物线 过点 、A( ，所以 解这个方程组，得
所以抛物线的解析式为：  ．
(3) 存在．因为  的顶点坐标为 即为点C．MP⊥x轴，设垂足为N，PN=t，因为∠BOA=30°，所以 ，所以  ．
作 PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E，把 代入 ，得 ，所以 ， ．
同理  ， ．
要使四边形 CDPM为等腰梯形，只需CE=QD．即 ，解得 ， (舍)．
所以  ．
故，存在这样的点 P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时 ． |
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