Question

（1）能否找到16个正整数，使其中任意9个数的和都不能被9整除？如果能，请把它们写出来，并说明所写数的特征；如果不能，请说明理由．
（2）能否找到17个正整数满足上述要求？为什么？

Answer 1

分析：（1）这样的16个数，其中8个数都能被9整除，另8个数被9整除都余1，这样的16个数中，任何9个数的和都不能被9整除；
（2）由于任一正整数被3除的余数，只能是0、1、2对于任意5个正整数，若它们被3除的余数中，三种余数都有，则可取得每种余数的数各一个，其和必是3的倍数，若这5个数被3除的余数中，只有至多两种余数，则由抽屉原理得，其中至少有3个数被3除的余数相同，取这3个数，其和必是3的倍数．对于任意17个正整数，可先从中取五个数，由上面的结论，其中必可找到3个数，其和为3的倍数，对于任意17个正整数可可先从中取五个数找出任意3个数均为3的倍数，可设其和为3a，同理可得到3b、3e，再把所得结果相加即可得出答案．

解答：解：（1）能，例如，这样的16个数，其中8个数都能被9整除，另8个数被9整除都余1，这样的16个数中，任何9个数的和都不能被9整除；
（2）先说明如下结论，任取5个正整数，其中必有三个数，其和为3的倍数．
任一正整数被3除的余数，只能是0、1、2对于任意5个正整数，若它们被3除的余数中，三种余数都有，则可取得每种余数的数各一个，其和必是3的倍数，若这5个数被3除的余数中，只有至多两种余数，则由抽屉原理得，其中至少有3个数被3除的余数相同，取这3个数，其和必是3的倍数．
对于任意17个正整数，可先从中取五个数，由上面的结论，其中必可找到3个数，其和为3的倍数，记作3a，再从余下的14个数中任取5各数，其中又可找到3个数，其和为3的倍数，记作3b₁…依次下去，可得和3c，3d，最后余下的5个数中，又可找到3个数的和为3e（a、b、c、d、e均为正整数）．
考虑a、b、c、d、e这5个数，又可从中找到3个数，其和为3的倍数，
不妨设a+b+c=3k（k是正整数），于是3a+3b+3c=3（a+b+c）=9k，
即和为3a、3b、3c这3组的9个数之和为9的倍数，所以，找不到17个正整数能满足题中条件．

点评：本题考查的是数的整除性问题，解答此类题目的关键是熟知数的整除性质．