Question

【题目】如图，⊙是Rt△ABC的外接圆，∠ACB=90°,点I是△ABC的内心，CI的延长线交⊙O于点D，连接AD.

（1）求证：DA=DI.

（2）若AB=10，AC=6，求AD、CD的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AD=5；CD=7.

【解析】

（1）连接AI，AD，BD，运用圆周角定理、内切圆的性质及三角形外角的性质问题即可求得∠AID=∠DAI，得出DA=DI．

（2）连接，过点作，垂足为点，由 是⊙的直径 ，可得 °

再证△是等腰直角三角形，在△中和△中，由勾股定理得结果.

解：（1）证明：连接

∵点是△的内心

∴ ，

∵

∴

∵ ，

∴

∴

（2）连接，过点作，垂足为点

∵ 是⊙的直径

∴ °

∵ °

∴ °

∵在△中

∴

∵

∴ °

∵在△中 °

∴ °

∴

∵ 在△中

∴

∵ 在△中

∴

∴

图1 图2