Question

如图，在△中，，，点是△内一点，且．

（1）求证：△∽△；
（2）试求的值．

Answer 1

（1）证明见解析；（2）2.

试题分析：（1）应用△ABC中角的关系求出∠PAC=∠PBA和∠APB=∠APC即可证得；（2）由等腰直角三角形，相似三角形的性质和锐角三角函数定义即可求得.
试题解析：
（1）∵在△ABC中，∠ACB=90º,AC=BC
∴∠BAC=45º，即∠PAC+∠PAB=45º，
又在△APB中，∠APB=135º，
∴∠PBA+∠PAB=45º，
∴∠PAC=∠PBA，
又∠APB=∠APC，
∴△CPA∽△APB.
（2）∵△ABC是等腰直角三角形，
∴,
又∵△CPA∽△APB，
∴，
令CP=k，则PA=k，PB=2k，
又在△BCP中，∠BPC=360º-∠APC-∠BPC=90º，
∴