Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交BC、AD于点F． E，垂足为O．

(1)求证：四边形AFCE为菱形；

(2)若AB=4，BC=8，求菱形AFCE的面积．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）20

【解析】

（1）先证明△AOE≌△COF，得出OE＝OF，再根据EF垂直平分AC，可得出四边形AFCE为菱形；

（2）设AF＝x，由AB＝4，BC＝8，得BF＝8x，根据勾股定理可得出AF的长，根据菱形的面积求解即可．

（1）证明：∵EF垂直平分AC，

∴OA＝OC，

∵四边形ABCD为矩形，

∴AD∥BC，

∴∠EAO＝∠FCO，∠AOE＝∠COF，

在△AOE和△COF中，

∠EAO＝∠FOC

AO＝CO

∠AOE＝∠COF，

∴△AOE≌△COF，

∴OE＝OF，

∴四边形AFCE为菱形；

（2）解：设AF＝x，

∵AB＝4，BC＝8，∴BF＝8x，

∴AF2＝AB2＋BF2，

∴x2＝42＋（8x）2，

∴x＝5，

∴S菱形AFCE＝FCAB＝5×4＝20，

∴菱形面积为20．