Question

如图，点P在y轴的正半轴上，⊙P交x轴于B、C两点，以AC为直角边作等腰Rt△ACD，BD分别交y轴和⊙P于E、F两点，交连结AC、FC．

(1)求证：∠ACF=∠ADB;

(2)若点A到BD的距离为m，BF+CF=n，求线段CD的长；

(3)当⊙P的大小发生变化而其他条件不变时，的值是否发生变化？若不发生变化，请求出其值；若发生变化，请说明理由．

Answer 1

（1）证明：连接AB                                             ……1分

           ∵OP⊥BC

           ∴BO=CO                                               ……2分

           ∴AB=AC

         又∵AC=AD

           ∴AB=AD

           ∴∠ABD=∠ADB                                         ……3分

         又∵∠ABD=∠ACF

           ∴∠ACF=∠ADB                                         ……4分

（2）解：过点A做AM⊥CF交CF的延长线于M，过点A做AN⊥BF于N，连接AF

      

则AN=m

∴∠ANB=∠AMC=90°

又∵∠ABN=∠ACM ，AB=AC

  ∴Rt⊿ABN≌Rt⊿ACM（AAS）

  ∴BN=CM ，AN=AM                                       ……5分

又∵∠ANF=∠AMF=90°, AF公共

  ∴Rt⊿AFN≌Rt⊿AFM(HL)

  ∴NF=MF                                                 ……6分

  ∴BF+CF=BN+NF+CM-MF

         =BN+CM=2BN=n                                   ……7分

  ∴BN=

  ∴CD=                                       ……8分

  

（3）过点D做DH⊥AO于N , 过点D做DQ⊥BC于Q                  ……9分

∵∠DAH+∠OAC=90°,  ∠DAH+∠ADH=90°

 ∴∠OAC=∠ADH

又∵∠DHA=∠AOC=90°, AD=AC

∴Rt⊿DHA≌Rt⊿AOC（AAS）

∴DH=AO ,AH=OC                ……10分

∴==