Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E为AB上一点，且ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，则下列结论：①DE⊥EC；②点E是AB中点；③AD•BC=BE•DE；④CD=AD+BC．其中正确的有________．

Answer 1

①②④
分析：根据直角梯形、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质进行分析、判断，并作出正确的选择．
解答：解：①：∵AD∥BC，∠ADC+∠BCD=180°
∵ED平分∠ADC，EC平分∠BCD，
∴∠ADE=∠CDE，∠DCE=BCE
∴∠DCE+∠CDE=90°
∴DE⊥EC；
故本选项正确；
②延长DE交CB的延长线于点F．
∵AD∥BC，DE是∠ADC的角平分线，
∴∠CDF=∠ADE=∠DFC，
∴CD=CF，
∴△CDF是等腰三角形；
又由①知DE⊥EC，
∴DE=FE，
又∵∠AED=∠BEF，
∴△BEF≌△AED，
∴AE=EB，
∴点E是AB的中点；
故本选项正确；
③由②知，△BEF≌△AED，∴△BEF∽△AED，
∴AD•BC=BE•AE
故本选项错误；
④∵△BEF≌△AED，
∴AD=BF；
又∵CD=CF，
∴CD=AD+BC；
故本选项正确；
综上所述，①②④正确；
故答案是：①②④．
点评：本题主要考查了直角梯形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质．解答该题时，利用了平行线、角平分线以及等腰三角形的性质．