Question

关于x的一元二次方程x²+2（k-2）x+（k²+4）=0的实根x₁，x₂满足，则k的值是________．

Answer 1

-1
分析：由关于x的一元二次方程x²+2（k-2）x+（k²+4）=0的实根x₁，x₂，根据根与系数的关系可得x₁+x₂=-2（k-2），x₁•x₂=k²+4，由根的判别式，即可得△≥0，然后由实根x₁，x₂满足，即可求得k的值．
解答：∵关于x的一元二次方程x²+2（k-2）x+（k²+4）=0的实根是x₁，x₂，
∴x₁+x₂=-2（k-2），x₁•x₂=k²+4，△=[2（k-2）]²-4（k²+4）=-16k≥0，
∴k≤0，
∵x₁，x₂满足，
即（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=x₁•x₂+21，
∴[-2（k-2）]²-2（k²+4）=k²+4+21，
即k²-16k-17=0，
解得：k=-1或k=17（舍去）．
故k的值是：-1．
故答案为：-1．
点评：此题考查了根与系数的关系以及根的判别式．此题难度适中，注意掌握若二次项系数为1，x₁，x₂是方程x²+px+q=0的两根时，x₁+x₂=-p，x₁x₂=q．