Question

如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=30°，过C作CD⊥BC交∠ABC的角平分线于点D，且．求△ABC的周长．

Answer 1

解：∵∠ABC=90°且BD为∠ABC的角平分线，
∴∠DBC=45°，
∵CD⊥BC，
∴∠DCB=90°，
∴△BCD为等腰直角三角形，
∴BC=BD=×=，
在Rt△ABC中，∠ACB=30°，
∴tan30°==，
∴AB=×=1，
∴AC=2AB=2，
∴△ABC的周长为3+．
分析：由于∠ABC=90°且BD为∠ABC的角平分线，则∠DBC=45°，易得△BCD为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到BC=BD=×=，在Rt△ABC中，∠ACB=30°，利用30°的正切可计算出AB，易得AC，然后计算△ABC的周长．
点评：本题考查了解直角三角形：根据勾股定理或三角函数求出直角三角形中未知的边或角叫解直角三角形．也考查了等腰三角形的性质．