题目内容

如图，⊙O的直径AB与弦CD（不是直径）相交于点E，且CE=DE，过点B作CD的平行线交AD延长线于点F．
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）连接BC，若⊙O的半径为4，sin∠BCD= $数学公式$ ，求CD的长？

（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CE=DE，
∴AB⊥CD（垂径定理），
∴∠AED=90°，
∵CD∥BF，
∴∠ABF=∠AED=90°，
∴BF是⊙O的切线；

（2）解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴BD=AB•sin∠BAD=AB•sin∠BCD=8× $\text{[math]}$ =6，
∴AD= $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ ，
∵S_△ABD= $\text{[math]}$ AB•DE= $\text{[math]}$ AD•BD，
∴DE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴CD=2DE=3 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由AB是⊙O的直径，CE=DE，得∠AED=90°，再由CD∥BF，得∠ABF=∠AED=90°，从而得出BF是⊙O的切线；
（2）连接BD，因为AB是⊙O的切线，则∠ADB=90°，再由sin∠BCD= $\text{[math]}$ ，求得AD，根据三角形的面积得DE的长，从而得出CD．
点评：本题考查了切线的判定和性质，勾股定理、圆周角定理以及解直角三角形，是一道综合题，难度不大．