Question

如图，AB是⊙O直径，D为⊙O上一点，AT平分∠BAD交⊙O于点T，过T作AD的垂线交AD的延长线于点C．

（1）求证：CT为⊙O的切线；

（2）若⊙O半径为2，CT=，求AD的长．

Answer 1

考点：切线的判定与性质；勾股定理；圆周角定理．

分析：（1）连接OT，根据角平分线的性质，以及直角三角形的两个锐角互余，证得CT⊥OT，CT为⊙O的切线；

（2）证明四边形OTCE为矩形，求得OE的长，在直角△OAE中，利用勾股定理即可求解．

解答：（1）证明：连接OT，

∵OA=OT，

∴∠OAT=∠OTA，

又∵AT平分∠BAD，

∴∠DAT=∠OAT，

∴∠DAT=∠OTA，

∴OT∥AC，（3分）

又∵CT⊥AC，

∴CT⊥OT，

∴CT为⊙O的切线；（5分）

（2）解：过O作OE⊥AD于E，则E为AD中点，

又∵CT⊥AC，

∴OE∥CT，

∴四边形OTCE为矩形，（7分）

∵CT=，

∴OE=，

又∵OA=2，

∴在Rt△OAE中，，

∴AD=2AE=2．（10分）

点评：本题主要考查了切线的判定以及性质，证明切线时可以利用切线的判定定理把问题转化为证明垂直的问题．