Question

如图1，抛物线y=x²-4x+c交x轴于点A和B（-1，0）交y轴于点C，且抛物线的对称轴交x轴于点D
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）若点E在抛物线上，且位于第四象限，当四边形ADCE面积最大时，求点E的坐标；
（3）如图2，在抛物线上是否存在这样的点P，使△PAB中的内角中有一边与x轴所夹锐角的正切值为

1

2

？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）依题意把点B的坐标代入函数解析式里得出c的值．
（2）连接OE，设四边形ADEF面积为S．令x=0以及y=0求出A、C的坐标．当m=

5

2

时，S有最大值．求出点E的坐标．
（3）本题要依靠辅助线的帮助．假设存在P点．利用三角函数求出各线段的等量关系．

解答：解：（1）∵B（-1，0）在y=x²-4x+c上，
∴（-1）²-4（-1）+c
∴c=-5
∴y=x²-4x-5  2分

（2）连接OE，由题意设四边形ADEF面积为S，
E（m，m²-4m-5）（0＜m＜5）3分
∵y=x²-4x-5
∴对称轴为直线x=2
∴D（2，0），DO=2
令x=0，得y=-5，
令y=0，得x₁=-1，x₂=5
∴A（5，0），C（0，-5）
∴AO=CO=5    4分
∴S=S_{四边形AOCE}-S_△COD=S_△COE+S_△AOF-S_△COD=

1

2

CO|x_E|-

1

2

AO|y_E|-

1

2

CO．DO
=-

5

2

m²+

25

2

m+

15

2

即S=-

5

2

（m-

5

2

）²+

185

8

（0＜m＜5）5分
∴当m=

5

2

时，Smax=

185

8

此时m²-4m-5=-

35

4

E（

5

2

，-

35

4

）   6分

（3）（I）存在P₁（

11

2

，

13

4

），P₂（

9

2

，-

11

4

），P₃（-

3

2

，

13

4

），P₄（-

1

2

，

11

4

）
（II）理由：假设存在P（m，m²-4m-5）
由题意得，tan∠PBA=

1

2

或tan∠PAB=

1

2

①当tan∠PBA=

1

2

，且P在第一象限时（如图2）
过P点作PH⊥x轴于H
∵tan∠PBA=

PH

BH

=

1

2

∴BH=2PH，
又P（m，m²-4m-5）（m＞0，m²-4m-5＞0）
B（-1，0）
∴BH=m+1，PH=m²-4m-5
∴m+1=2（m²-4m-5）
∴m₁=-1（舍）  m₂=

11

2

此时m²-4m-5=

13

4

∴P₁（

11

2

，

13

4

）7分
②当tan∠PBA=

1

2

，且P在第一象限时（如图2）
与①同理BH=2PH，BH=m+1，PH=-（m²-4m-5）
∴m+1=-2（m²-4m-5）
∴m₁=-1（舍） m₂=

9

2

此时m²-4m-5=-

11

4

∴p₂（

9

2

，-

11

4

）8分
③当tan∠PBA=

1

2

，且P在第二象限时（如图3）
过点P作PK⊥x轴于K
∵tan∠PBA=

PK

AK

=

1

2

，
AK=2PK
∴AK=5-m，PK=m²-4m-5
∴5-m=2（m²-4m-5）
∴m₁=5（舍）  m₂=

3

2

此时m²-4m-5=

13

4

∴P₃（-

3

2

，

13

4

）9分
④当tan∠PBA=

1

2

，且P在第三象限时（如图3）
与③同理：AK=2PK，AK=5-m，PK=-（m²-4m-5）
∴5-m=-（m²-4m-5）
∴m₁=5（舍） m₂=

1

2

此时m²-4m-5=-

11

4

∴p₄（-

1

2

，-

1

4

）
故存在P₁（

11

2

，

13

4

），p₂（

9

2

，-

11

4

），P₃（-

3

2

，

13

4

），p₄（-

1

2

，-

1

4

）．10分

点评：本题难度较大．考查的是三角函数的有关知识点，二次函数的灵活运用．