Question

如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC于点F．
（1）求证：△ADE∽△BEF；
（2）设正方形的边长为4，AE=x，BF=y；求y关于x的函数解析式及函数的定义域；
（3）当x取什么值时，y有最大值？求出这个最大值．并指出该函数图象的变化情况．

Answer 1

分析：（1）根据正方形的性质及余角的性质得出△ADE与△BEF的两对应角相等，从而得出△ADE∽△BEF；
（2）根据相似三角形的性质得出y关于x的函数解析式及函数的定义域；
（3）当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，因为图象有最高点，所以函数有最大值．

解答：（1）证明：∵ABCD是正方形，∴∠DAE=∠EBF=90°，（1分）
∴∠ADE+∠AED=90°，
又EF⊥DE，∴∠AED+∠BEF=90°，（1分）
∴∠ADE=∠BEF，（1分）
∴△ADE∽△BEF（1分）

（2）解：由（1）△ADE∽△BEF，AD=4，BE=4-x
得：

BF

AE

=

BE

AD

，即：

y

x

=

4-x

4

，（1分）
得：y=-

1

4

x2+x=-

1

4

(x2-4x)=-

1

4

(x-2)2+1，（0＜x＜4）（2分）

（3）解：当x=2时，y有最大值，y的最大值为1．（1分）
该函数图象在对称轴x=2的左侧部分是上升的，右侧部分是下降的．（2分）

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质以及二次函数的综合应用．确定个二次函数的最值是，首先看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线顶点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出顶点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获得最值．