Question

如图，已知△ABC中，AB=AC=

5

，BC=4，点O在BC边上运动，以O为圆心，OA为半径的圆与边AB交于点D（点A除外），设OB=x，AD=y，
（1）求sin∠ABC的值；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（3）当点O在BC边上运动时，⊙O是否可能与以C为圆心，

1

4

BC长为半径的⊙C相切？如果可能，请求出两圆相切时x的值；如果不可能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E，根据等腰三角形三线合一的性质求出BE的长，再由勾股定理求出AE的长，根据特殊角的三角函数值即可求解；
（2）过点O作OF⊥AD，垂足为F，连接OD，根据等腰三角形的性质可用y表示出AF，DF及BF的值，由相似三角形的判定定理可知△OBF∽△ABE，根据相似三角形的对应边成比例即可得出y与x的函数关系式；
（3）先求出⊙C的半径CP的长，再根据两圆相切时两圆心的距离列方程求解即可．

解答：解：（1）过点A作AE⊥BC，垂足为E，由AB=AC，得BE=

1

2

BC=2，（1分）
在Rt△AEB中，∠AEB=90°，AE=

AB2-BE2

=1，（1分）
∴sin∠ABC=

AE

AB

=

1

5

=

5

5

；（1分）
（2）过点O作OF⊥AD，垂足为F，连接OD，根据等腰三角形的性质可知，AF=DF=

1

2

AD=

1

2

y，（1分）
BF=AB-AF=

5

-

1

2

y．（1分）
∵∠OFB=∠AEB=90°，∠OBF=∠ABE，∴△OBF∽△ABE（1分）
∴

BF

BE

=

OB

AB

，即

5 - 1 2 y

2

=

x

5

（1分）
整理得y=-

4

5

5

x+2

5

（

5

4

≤x＜

5

2

）（2分）
（3）可能相切．
在Rt△AEO中，∠AEO=90°，AE=1，OE=|2-x|，
则AO=

OE2+AE2

=

x2-4x+5

（1分）
设⊙C与BC边相交于点P，则⊙C的半径CP=

1

4

BC=1，
①若⊙O与⊙C外切，则有OA+CP=OC．
即

x2-4x+5

+1=4-x，
解得x=2；（1分）
②若⊙O与⊙C内切，则有|OA-CP|=OC．
∵1≤OA≤

5

4

，PC=1，OA≥CP，∴只有OA-CP=OC．（1分）
即

x2-4x+5

-1=4-x，
解得x=

10

3

（不合题意，舍去），（1分）
∴当⊙O与⊙C相切时，x=2．（1分）

点评：本题考查的是相似三角形判定与性质、圆与圆的位置关系，解答此题的关键是作出辅助线，构造出相似三角形，由相似三角形的性质解答．