Question

20．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，D为AB的中点，点E在线段AC上，点F在直线BC上，∠EDF=90°．
（1）如图1，若点E与点A重合，点F在BC的延长线上，则此时$\frac{DE}{DF}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）若点E在线段AC上运动，点F在线段BC上随之运动（如图2），请猜想在此过程中$\frac{DE}{DF}$的值是否发生改变．若不变，请求出$\frac{DE}{DF}$的值；若改变，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，在线段EC上取一点G，在线段CB的延长线上取一点H，其中$\frac{EG}{FH}=k$，请问k为何值时，恒有∠GDH=90°．请在图3中补全图形，直接写出符合题意的k值，并以此为条件，证明∠GDH=90°．

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形的性质和三角形全等的判定定理证明△ACB≌△FDB，得到∠F=∠A=30°，根据正切的概念解答；
（2）过点D作DM⊥AB交BC的延长线于点M，证明△ADE∽△MDF，得到$\frac{DE}{DF}=\frac{DA}{DM}$，计算即可；
（3）根据题意画出图形，根据相似三角形的判定定理证明△EGD∽△FHD即可．

解答 解：（1）$\frac{DE}{DF}$=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
∵∠ACB=90°，∠A=30°，
∴BC=$\frac{1}{2}$AB，
∵D为AB的中点，
∴BD=$\frac{1}{2}$AB，
∴BD=BC，
在△ACB和△FDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACB=∠FDB}\\{BC=BD}\\{∠B=∠B}\end{array}\right.$，
∴△ACB≌△FDB，
∴∠F=∠A=30°，
∴$\frac{DE}{DF}$=$\frac{BD}{DF}$=tan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（2）猜想：在此过程中，$\frac{DE}{DF}$的值不变，
如图2，过点D作DM⊥AB交BC的延长线于点M．
∴∠MDA=∠MDB=90°，即∠1+∠3=90°
又∵∠EDF=∠2+∠3=90°
∴∠1=∠2
∵∠ACB=∠MDB=90°
∴∠A=90°-∠B，∠M=90°-∠B
∴∠A=∠M
∴△ADE∽△MDF，
∴$\frac{DE}{DF}=\frac{DA}{DM}$，
∵D为AB中点，
∴DA=DB，
∴$\frac{DA}{DM}=\frac{DB}{DM}=tanM=tan{30^o}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
∴在此过程中，$\frac{DE}{DF}$的值不变，恒为$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$；
（3）k=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，
证明：由（2）得$\frac{DE}{DF}=\frac{{\sqrt{3}}}{3}=k=\frac{EG}{FH}$
∵四边形CEDF中，∠ACB=∠EDF=90°，
∴∠4+∠6=360°-∠ACB-∠EDF=180°
又∵∠5+∠6=180°
∴∠4=∠5
∴△EGD∽△FHD，
∴∠EDG=∠FDH
∵∠EDF=∠EDG+∠FDG=90°
∴∠FDH+∠FDG=90°
即∠GDH=90°．

点评 本题考查的是直角三角形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，以及锐角三角函数的概念，正确作出辅助线、灵活运用定理是解题的关键．