Question

如图1，在平面直角坐标系中，M为x轴正半轴上一点，⊙M与x轴交于A、B两点，与y轴交于点D，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙M的切线，切点为C，连接AC，交y轴于点E．若D点的坐标为（0，），B点的坐标为（3，0）．

（1）求M点的坐标；
（2）若∠CPA=30°，求CE的长；
（3）在（2）的条件下，若点P在AB的延长线上运动，∠CPA的平分线交AC于点Q．过C、Q、P作⊙N（如图2），弦FQ⊥PQ，试找出线段CQ、FQ、PQ之间的固定的数量关系，并证明．

Answer 1

解：（1）如图1，连接DM，设MD=MC=r，则MO=3-r
在Rt△DOM中，MO²+OD²=MD²，
即，
解得：r=2，
∴MO=3-r=3-2=1，
∴M（1，0）；

（2）如图1，连接MC，由题意：∠MCP=90°
∵∠CPA=30°，
∴∠CMP=60°，
∵MA=MC，
∴∠MAC=∠MCA=∠CMP=30°，
∴AC=，
在Rt△AOE中，∠MAC=30°，
∴OE=AE，
设OE=x，则AE=2x，
在Rt△AOE中，OE²+OA²=AE²，即x²+1²=（2x）²
解得：，
∴AE=2x=，
∴CE=AC-AE=；

（3）PQ-FQ=CQ．
证明：如图2，过C作CG⊥CQ，交PQ于G，
如图1，∵PQ是∠CPA的平分线，
∴∠CPQ=∠QPA，
∵MA=MC，
∴∠CAM=∠ACM；
在△PCM中，
∵∠CAP+∠ACP+∠CPA=180°，
∴2∠CAM+2∠QPA=90°，∠CAM+∠QPA=45°，
∴∠CQP=∠CAP+∠QPA=45°，
即∠CQP的大小不发生变化为45°，
∵CG⊥CQ，
∴∠QCG=90°，
∴∠CGQ=∠CQG=45°，
∴CQ=CG，QG=QC，
∵FQ⊥PQ，
∴∠FQP=90°，
∴∠FCP=90°，
∵∠QCF+90°=∠QCG+∠PCG=90°+∠PCG，
∴∠PCG=∠QCF，
在△QCF和△CGP中，
，
∴△QCF≌△CGP（AAS），
∴QF=PG，
∴PQ-PG=QG，即PQ-FQ=QC．
分析：（1）利用勾股定理直接求出r，进而得出M点坐标；
（2）首先求出AC的长，再设OE=x，则AE=2x，在Rt△AOE中，OE²+OA²=AE²，得出AE的长即可得出答案；
（3）首先得出∠CQP=45°，进而得出△QCF≌△CGP（AAS），即可得出线段CQ、FQ、PQ之间的固定的数量关系．
点评：此题主要考查了圆的综合应用以及全等三角形的判定与性质和角平分线的性质等知识，利用已知得出∠CQP的大小不发生变化为45°进而得出CQ=CG是解题关键．