Question

如图，在直角坐标系中，△ABC满足∠C=90°，AC=4，BC=2，点A、C分别在x、y轴上，当A点从原点开始在x轴正半轴上运动时，点C随着在y轴正半轴上运动．
（1）当A点在原点时，求原点O到点B的距离OB；
（2）当A点在x正半轴向右运动，点C随着在y轴正半轴运动至O点，在平面上有一点P，使△ACP为等边三角形，求点P的坐标；
（3）当OA=OC时，求原点O到点B的距离OB．

Answer 1

解：（1）如图，A点在原点时，OB=，
=，
=2；

（2）如图，点C运动至点O，过点P作PD⊥AC于D，
∵△ACP是等边三角形，
∴CD=AC=×4=2，
PD=PC=×4=2，
点P在x轴上方时，P₁（2，2），
点P在x轴下方时，P₂（2，-2）；

（3）过点B作BE⊥y轴于E，
∵OA=OC，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∴∠ACO=45°，OC=4×=2，
∵∠ACB=90°，
∴∠BCE=180°-90°-45°=45°，
∴△BCE是等腰直角三角形，
∴CE=BE=2×=，
∴OE=2+=3，
在Rt△BOE中，OB===2．
分析：（1）根据勾股定理列式计算即可得解；
（2）过点P作PD⊥AC于D，根据等边三角形的性质求出CD、PD，然后分点P在x轴上方和下方两种情况讨论求解；
（3）过点B作BE⊥y轴于E，判断出△AOC和△BCE是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出CE、BE，然后求出OE的长，利用勾股定理列式计算即可得解．
点评：本题考查了勾股定理，坐标与图形的性质，等边三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，读懂题目信息理解所求时刻的三角形的形状是解题的关键，作出图形更形象直观．