Question

【题目】 （2016辽宁营口第25题）已知：如图①，将∠D=60°的菱形ABCD沿对角线AC剪开，将△ADC沿射线DC方向平移，得到△BCE，点M为边BC上一点（点M不与点B、点C重合），将射线AM绕点A逆时针旋转60°，与EB的延长线交于点N，连接MN．

（1）①求证：∠ANB=∠AMC；

②探究△AMN的形状；

（2）如图②，若菱形ABCD变为正方形ABCD，将射线AM绕点A逆时针旋转45°，原题其他条件不变，（1）中的①、②两个结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论；若不成立，请写出变化后的结论并证明．

Answer 1

【答案】（1）①证明见解析；②△AMN是等边三角形；（2）①成立，②不成立，△AMN是等腰直角三角形．

【解析】

试题分析：（1）①先由菱形可知四边相等，再由∠D=60°得等边△ADC和等边△ABC，则对角线AC与四边都相等，利用ASA证明△ANB≌△AMC，得结论；

②根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出：△AMN是等边三角形；

（2）①成立，根据正方形得45°角和射线AM绕点A逆时针旋转45°，证明△ANB∽△AMC，得∠ANB=∠AMC；

②不成立，△AMN是等腰直角三角形，利用①中的△ANB∽△AMC，得比例式进行变形后，再证明△NAM∽△BAD，则△AMN是等腰直角三角形．

试题解析：（1）如图1，①∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=CD=AD，∵∠D=60°，∴△ADC和△ABC是等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∵∠NAM=60°，∴∠NAB=∠CAM，由△ADC沿射线DC方向平移得到△BCE，可知∠CBE=60°，∵∠ABC=60°，∴∠ABN=60°，∴∠ABN=∠ACB=60°，∴△ANB≌△AMC，∴∠ANB=∠AMC；

②如图1，△AMN是等边三角形，理由是：

由△ANB≌△AMC，∴AM=AN，∵∠NAM=60°，∴△AMN是等边三角形；

（2）①如图2，∠ANB=∠AMC成立，理由是：

在正方形ABCD中，∴∠BAC=∠DAC=∠BCA=45°，∵∠NAM=45°，∴∠NAB=∠MAC，由平移得：∠EBC=∠CAD=45°，∵∠ABC=90°，∴∠ABN=180°﹣90°﹣45°=45°，∴∠ABN=∠ACM=45°，∴△ANB∽△AMC，∴∠ANB=∠AMC；

②如图2，不成立，△AMN是等腰直角三角形，理由是：

∵△ANB∽△AMC，∴，∴，∵∠NAM=∠BAC=45°，∴△NAM∽△BAC，∴∠ANM=∠ABC=90°，∴△AMN是等腰直角三角形．