Question

（2008•泰安）四边形ABCD的对角线AC、BD的长分别为m、n，可以证明当AC⊥BD时（如左图），四边形ABCD的面积S=mn，那么当AC、BD所夹的锐角为θ时（如图），四边形ABCD的面积S=    ．（用含m、n、θ的式子表示）

Answer 1

【答案】分析：设AC、BD交于O点，在①图形中，设BD=m，OA+OC=n，所以S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC，由此可以求出四边形的面积；
在②图形中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，由于AC、BD夹角为θ，所以AE=OA•sinθ，CF=OC•sinθ，∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC=BD•AE+BD•CF=BD•（AE+CF ），由此也可以求出面积．
解答：解：如图，设AC、BD交于O点，在①图形中，设BD=m，OA+OC=n，
所以S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC=m•OC+m•OA=mn；
在②图形中，作AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，
由于AC、BD夹角为θ，
所以AE=OA•sinθ，CF=OC•sinθ，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC
=BD•AE+BD•CF
=BD•（AE+CF）=mnsinθ．
故填空答案：mnsinθ．
点评：此题比较难，解题时关键要找对思路，即原四边形的高已经发生了变化，只要把高求出来，一切将迎刃而解．