Question

如图，已知△ABC中，∠BAC=36°，AB=AC=2，动点D在CB的延长线上运动，动点E在BC的延长线上运动，且保持∠DAE的值为108°．设DB=x，CE=y．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）用描点法画出（1）中函数的图象；
（3）已知直线y=x-3与（1）中函数图象的交点坐标是（a，b），求

a

b

+

b

a

的值；
（4）求BC的长．

Answer 1

分析：（1）根据题意可知∠D=∠CAE，∠DAB=∠E，推出△DAB∽△AEC，即可求出y与x的之间的函数表达式；
（2）首先画出表格，在描点，连线即可；
（3）把交点坐标代入两个解析式，即可得出关于a和b方程组，求解即可；
（4）作∠ABC的平分线BF交AC于点F，结合题意，可推出AF=BF=BC，△CBF∽△CAB，即得BC²=AC•CF．推出AF²=AC•CF，求出AF后即可得BC的长度．

解答：解：（1）AB=AC，∠BAC=36°，∠DAE=108°．
∴∠ABC=∠ACB=

180°-36°

2

=72°，∠DAB+∠CAE=72°．
∴∠D+∠DAB=72°，∠CAE+∠E=72°．
∴∠D=∠CAE，∠DAB=∠E．
∴△DAB∽△AEC．
∴

DB

AC

=

AB

EC

．
∴

x

2

=

2

y

(x＞0)．
∴y=

4

x

(x＞0)

（2）完成表格，描点绘图

x	1	2	4	5	8	10
y	4	2	1	0.8	0.5	0.4

（3）根据题意，得

b= 4 a b=a-3

，
∴ab=4，a-b=3．
∴

b

a

+

a

b

=

b2+a2

ab

=

(a-b)2+2ab

ab

=

32+2×4

4

=

17

4

；

（4）作∠ABC的平分线BF交AC于点F．
∵∠ABC=∠ACB=72°，
∴∠ABF=∠FBC=36°．
∴∠BFC=72°．
∴AF=BF=BC．
在△CBF和△CAB中，
∵∠BCF=∠ACB，∠CBF=∠CBA，
∴△CBF∽△CAB．
∴

CF

BC

=

BC

AC

．
∴BC²=AC•CF．
∴AF²=AC•CF．
∴AF=

5 -1

2

•AC=

5

-1．
∴BC=

5

-1．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质、反比例函数的图象、反比例函数与一次函数交点的问题，解题的关键在于求出三角形相似和有关的函数图象．