Question

如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上一点，点F是边BC上一点，点G是边CD上一点，BE=2ED，CF=2BF，连接AE并延长交CD于G，连接AF、EF、FG．给出下列五个结论：①DG=GC；②∠FGC=∠AGF；③S_△ABF=S_△FCG；④AF=

2

EF；⑤∠AFB=∠AEB．其中正确结论的个数是（　　）

• A、5个
• B、4个
• C、3个
• D、2个

Answer 1

分析：①本题需先根据已知BE=2ED，得出DG=

1

2

AB，再根据AB=CD，即可得出结果．
②本题需先设出数据，再得出AG、AF等于多少，再求出这两个角的正切值是多少，及可求出结果．
③本题需先根据题意得出S_△ABF与S_△FCG的面积是多少，及可求出结果．
④本题先根据在Rt△AEF中，求出EF，AF的值，即可得出结论．
⑤证出Rt△ABF∽Rt△AOE，即可得到∠AFB=∠AEB．

解答：解：①∵BE=2DE
∴

DG

AB

=

DE

BE

=

1

2

∴DG=

1

2

AB
∵AB=CD
∴DG=

1

2

CD
∴DG=CG
故本选项正确
②设BF=1，则CF=2，AB=AD=3，DG=CG=

3

2

，
过点E作AB的平行线，交AD于M，交BC于N，
可得四边形MNCD是矩形，△AMG∽ADG，且相似比为

2

3

，
∵AD=3，
∴AM=2，DM=1，NC=1，
则BN=BC-NC=2，FN=BN-BF=1，
∵MD∥BN，
∴△MDE∽NBE，
且相似比

1

2

，
∴ME=1，EN=2，
在Rt△EFN中，
EF=

EN2+FN2

=

5

，
在Rt△AME中，
AE=

AM2+AE2

=

5

，
在Rt△ABF中，
AF=

32+12

=

10

，
∴AE²+EF²=AF²，
∴∠AEF=90°，
∵AG=

( 3 2 )2+32

=

3

2

5

∴EG=

5

2

，
∴tan∠AGF=

EF

EG

=2，
又tan∠FGC=

4

3

，
∴∠FGC≠∠AGF，
故本选项错误
③∵S△ABF=

1

2

×1×3=

3

2

S△FCG=

1

2

×2×1.5
=

3

2

∴S_△ABF=S_FCG
故本选项正确
④连接EC，过E点作EH⊥BC，垂足为H，
由②可知AF=

10

，
∵BE=2ED，
∴BH=2HC，EH=

2

3

CD=2，
又∵CF=2BF，
∴H为FC的中点，FH=1，
∴在Rt△HEF中：
∵EF=

FH2+EH2

=

12+22

=

5

AF=

10

∴AF=

2

EF
故本选项正确．
⑤过A点作AO⊥BD，垂足为O，
∵

AB

AO

=

AF

AE

=

2

1

，
∴Rt△ABF∽Rt△AOE，
∴∠AFB=∠AEB．
故本选项正确．
故选B．

点评：本题主要考查了正方形的性质，在解题时要注意知识的综合运用，借助图形是解题的关键．