Question

已知：平面直角坐标系中，四边形OABC的顶点分别为O(0，0)、A（5，0）、B(m，2)、C(m－5，2)．

（1）问：是否存在这样的m，使得在边BC上总存在点P，使∠OPA＝90º？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

（2）当∠AOC与∠OAB的平分线的交点Q在边BC上时，求m的值．

Answer 1

解：（1）由题意，知：BC∥OA.以OA为直径作⊙D，与直

线BC分别交于点E、F，则∠OEA=∠OFA=90º.

作DG⊥EF于G，连DE，则DE＝OD＝2.5，DG＝2，

EG＝GF，∴ EG＝ ＝1.5，

∴点E(1，2)，点F(4，2)．

∴当即1≤m≤9时，边BC上总存在这样的点P，

使∠OPA＝90º.

（2）∵BC=5=OA，BC∥OA，∴四边形OABC是平行四边形.

当Q在边BC上时，∠OQA =180º－∠QOA－∠QAO

=180º－(∠COA+∠OAB)=90º，∴点Q只能是点E或点F．

当Q在F点时，∵OF、AF分别是∠AOC与∠OAB的平分

线，BC∥OA，∴∠CFO＝∠FOA=∠FOC，∠BFA＝∠FAO=

∠FAB，∴CF＝OC，BF＝AB，∵OC＝AB，∴F是BC的中

点．∵F点为 (4，2)，∴此时m的值为6.5．

当Q在E点时，同理可求得此时m的值为3.5．