题目内容
【题目】(2016山西省第22题)综合与实践
问题情境
在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD（
）沿对角线AC剪开，得到
和
．
操作发现
（1）将图1中的以A为旋转中心，逆时针方向旋转角
，使 
，得到如图2所示的
，分别延长BC 和
交于点E，则四边形
的状是 ；
（2）创新小组将图1中的以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角，使
，得到如图3所
示的，连接DB，
，得到四边形
，发现它是矩形．请你证明这个论；
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，量得图3中BC=13cm，AC=10cm，然后提出一个问题：将沿着射线DB方向平移acm，得到
，连接
，
，使四边形
恰好为正方形，求a的值．请你解答此问题；
（4）请你参照以上操作，将图1中的在同一平面内进行一次平移，得到
，在图4中画出平移后构造出的新图形，标明字母，说明平移及构图方法，写出你发现的结论，不必证明．
【答案】(1)、菱形；(2)、证明过程见解析；(3)、
或
；(4)、平行四边形.
【解析】
试题分析：(1)、利用旋转的性质和菱形的判定证明；(2)、利用旋转的性质以及矩形的判定证；(3)、利用平移行性质和正方形的判定证明，需注意射线这个条件，所以需要分两种情况当点
在边
上和点在边的延长线上时；(4)、开放型题目，答对即可.
试题解析：(1)、菱形
(2)、作
于点E． 由旋转得
，
．
四边形ABCD是菱形，
，
，
，
，
同理
，
，又
，
四边形
是平行四边形，
又
，
，
， ∴四边形
是矩形
(3)、过点B作
，垂足为F，
， 
．
在Rt
中，
，
在
和
中，
， 
．
∽，
，即
，解得
，
，
，
．
当四边形
恰好为正方形时，分两种情况：
①点在边上．
．
②点在边的延长线上，
综上所述，a的值为或．
(4)、答案不唯一．
平移及构图方法：将
沿着射线CA方向平移，平移距离为
的长度，得到
，连接
．
结论：四边形是平行四边形
