题目内容

已知二次函数y=x2-mx+m-2．
（1）求证：无论m为任何实数，该二次函数的图象与x轴都有两个交点；
（2）当该二次函数的图象经过点（3，6）时，求二次函数的解析式；
（3）将直线y=x向下平移2个单位长度后与（2）中的抛物线交于A、B两点（点A在点B的左边），一个动点P自A点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E，再到达x轴上的某点F，最后运动到点B．求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长．
【答案】分析：（1）抛物线的解析式中，令y=0，若抛物线与x轴有两个交点，那么所得方程的根的判别式△＞0，可据此来证明此题的结论．
（2）将已知点的坐标代入所求的抛物线解析式中，即可求出待定系数m的值，从而确定该抛物线的解析式．
（3）直线y=x向下平移2个单位后，解析式为：y=x-2（上加下减），联立抛物线的解析式，可求得点A、B的坐标；求P点运动的最短路径，也就是求AE+EF+BF的最小值，可取A关于抛物线对称轴的对称点A′，取B关于x轴的对称点B′，A′、B′的坐标易求得，即可得到直线A′B′的解析式，那么直线A′B′与抛物线对称轴和x轴的交点，即为所求的E、F点，此时P点运动的最短路径即为A′B′的长，根据A′、B′的坐标易求得线段A′B′的长，由此得解．
解答：（1）证明：令y=0，则x2-mx+m-2=0，
∵△=（-m）2-4（m-2）=m2-4m+8=（m-2）2+4，（1分）
又∵（m-2）2≥0，
∴（m-2）2+4＞0，即△＞0．
∴无论m为任何实数，一元二次方程x2-mx+m-2=0总有两不等实根；
∴该二次函数图象与x轴都有两个交点．（2分）

（2）解：∵二次函数y=x2-mx+m-2的图象经过点（3，6），
∴32-3m+m-2=6，
解得；
∴二次函数的解析式为．（3分）

（3）解：将y=x向下平移2个单位长度后得到解析式为：y=x-2，（4分）
解方程组，
得，；
∴直线y=x-2与抛物线的交点为；
∴点A关于对称轴的对称点是，
点B关于x轴的对称点是B'（1，1），设过点A'、B'的直线解析式为y=kx+b；
∴，，
∴直线A'B'的解析式为；
∴直线A'B'与x轴的交点为（5分）
与直线的交点为（6分）
则点、为所求；
过点B'做B'H⊥AA'的延长线于点H，
∴，HA'=1；
在Rt△A'B'H中，，
∴所求最短总路径的长为AE+EF+FB=A'B'=．（7分）
点评：此题是二次函数的综合题，考查了根的判别式、函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、轴对称的性质、平面展开-最短路径问题等重要知识点，综合性强，难度较大．
练习册系列答案
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A、
3
4
B、-
3
4
C、
5
4
D、-
5
4
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