Question

如图，抛物线y＝x²＋x－4与y轴交于点A，E(0，b)为y轴上一动点，过点E的直线y＝x＋b与抛物线交于点B、C．

(1)求点A的坐标；

(2)当b＝0时(如图)，△ABE与△ACE的面积大小关系如何？当b＞－4时，上述关系还成立吗，为什么？

(3)是否存在这样的b，使得△BOC是以BC为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)将x＝0，代入抛物线解析式，得点A的坐标为(0，－4)　　2分 　　(2)当b＝0时，直线为，由解得， 　　所以B、C的坐标分别为(－2，－2)，(2，2) 　　， 　　所以(利用同底等高说明面积相等亦可)　　4分 　　当时，仍有成立．理由如下 　　由，解得， 　　所以B、C的坐标分别为(－，－＋b)，(，＋b)， 　　作轴，轴，垂足分别为F、G，则， 　　而和是同底的两个三角形， 　　所以　　6分 　　(3)存在这样的b． 　　因为 　　所以 　　所以，即E为BC的中点 　　所以当OE＝CE时，为直角三角形　　8分 　　因为 　　所以，而 　　所以，解得， 　　所以当b＝4或－2时，ΔOBC为直角三角形　　10分