题目内容

如图，已知直线y= $数学公式$ x-1与y轴交于点C，将抛物线y=- $数学公式$ （x-2）²向上平移n个单位（n＞0）后与x轴交于A，B两点．
（1）直接写出点C的坐标；
（2）当经过C，A，B三点的圆的面积最小时，
①求n的值；
②在y轴右侧的抛物线上是否存在一点P，使得⊙P既与直线y= $数学公式$ x-1相切，又与y轴相切？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：
（1）令x=0，y=0-1=-1，
∴点C的坐标（0，-1）；

（2）①平移后二次函数的解析式为y=- $\text{[math]}$ （x-2）²+n，
由题意知：过C，A，B三点的圆的圆心一定在直线x=2上，点C为定点．
∴当圆的半径等于点C到直线x=2的距离时，圆的半径最小，从而圆的面积最小．
此时，圆的半径为2，面积为4π．
设圆心为M，直线x=2与x轴交于点D，连接AM，则AM=2，
∵CM=2，OC=1，∴DM=1．
在Rt△AMD中，AD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴点A的坐标是（2- $\text{[math]}$ ，0），代入抛物线得n= $\text{[math]}$ ．
∴当n= $\text{[math]}$ 时，过C，A，B三点的圆的面积最小，最小面积为4π；

②如图2，当点P在直线y= $\text{[math]}$ x-1下方时，

设直线y= $\text{[math]}$ x-1与x轴相交于点E，过点P作PN⊥EC于点N，PM∥y轴交EC于点M，则∠PMN=∠OCE，∠PNM=∠COE=90°，
∴△PMN∽△ECO，
∴ $\text{[math]}$ ，
令y= $\text{[math]}$ x-1=0．则x= $\text{[math]}$ ，即OE= $\text{[math]}$ ，CE= $\text{[math]}$ ，
设点P的横坐标为m，则PM=MH+PH，
即PM= $\text{[math]}$ m-1+ $\text{[math]}$ （m-2）²- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （m²-m-3），
∴PN= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ （m²-m-3），
根据题意， $\text{[math]}$ （m²-m-3）=m，
解得m₁=3+2 $\text{[math]}$ ，m₂=3-2 $\text{[math]}$ （不合题意，舍去），
即点P的坐标是（3+2 $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ），
当点P在直线y= $\text{[math]}$ x-1上方时，同理可得 $\text{[math]}$ （m²-m-3）=-m，
解得m₃=- $\text{[math]}$ -2（不合题意，舍去），m₄= $\text{[math]}$ -2，即点P的坐标是（ $\text{[math]}$ -2，2 $\text{[math]}$ -5），
综上，点P的坐标是（3+2 $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）或（ $\text{[math]}$ -2，2 $\text{[math]}$ -5）．
分析：（1）由直线y= $\text{[math]}$ x-1与y轴交于点C，令x=0，求得y的值，即可求得点C的坐标；
（2）①首先设平移后二次函数的解析式为y=- $\text{[math]}$ （x-2）²+n，由过C，A，B三点的圆的圆心一定在直线x=2上，点C为定点，即可得：当圆的半径等于点C到直线x=2的距离时，圆的半径最小，从而圆的面积最小，则可求得n的值；
②分别从当点P在直线AC下方时与当点P在直线AC上方时去分析，借助于相似三角形的对应边成比例即可求得答案．
点评：此题考查了一次函数与坐标轴交点的特点，二次函数的平移以及圆的性质等知识．此题综合性很强，解题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用．