Question

【题目】如图①，定义：直线 (m<0, n>0) 与x、y轴分别相交于A、B两点，将△AOB绕着点O逆时针旋转90°得到△COD，过点A、B、D的抛物线P叫做直线l的“纠缠抛物线”，反之，直线l叫做P的“纠缠直线”，两线“互为纠缠线”。

（1） 若，则纠缠抛物线P的函数解析式是 ．

（2） 判断并说明与是否“互为纠缠线”.

（3） 如图②，若纠缠直线，纠缠抛物线P的对称轴与CD相交于点E，点F在l上，点Q在P的对称轴上，当以点C、E、Q、F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标.

（4） 如图③，在(3)的条件下，G为线段AB上的一个动点，G点随着△AOB旋转到线段CD上的H点，连接H、G，取HG的中点M，当点G从A开始运动到B点，直接写出点M的运动路径长。

Answer 1

【答案】解：（1）；（2）详见解析；（3）Q点坐标为或；（4）M的运动路径长为

【解析】

（1）根据题意及直线l解析式可得A，B，D坐标，用待定系数法可求抛物线P的函数解析式；

（2）分别在x=0时和y=0时，求两函数与坐标轴交点，然后根据“互为纠缠线”的定义进行判断；

（3）以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，则有FQ∥CE，且FQ＝CE．以此为基础，列方程求出点Q的坐标；

（4）如图，过点H，G分别作HJ⊥x轴，GK⊥x轴，由旋转的性质可证明△HJO≌△OKG，则可以设点G（m,-2m+4）(0≤m≤2)， H(2m-4,m)，得到M点坐标为()，从而确定出点M在直线（-2≤x≤1）上运动，然后根据两点间距离公式易得结果.

解：（1）若，则A（1,0），B（0,2），D（-2,0），

设抛物线解析式为：y=a(x-1)(x+2)，

将B（0,2）代入可得：a=-1，

∴抛物线解析式为：y=-(x-1)(x+2)=；

（2）当x=0时，，，

∴两函数图像交于y轴（0,2k）,

当y=0时，①，解得：x=k，

②，解得：，，

∴两函数图像交于x轴(k,0)，且OB=OD，

∴与“互为纠缠线”；

（3）若，则A（2,0），B（0,4），C（0,2），D（-4,0），

求得直线CD的解析式为：y＝，

可求得P的对称轴为．

∵以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形，

∴FQ∥CE，且FQ＝CE．

设直线FQ的解析式为：y＝，

∵点E、点C的横坐标相差1，

∴点F、点Q的横坐标也是相差1．

则|xF（1）|＝|xF＋1|＝1，

解得xF＝0或xF＝2．

∵点F在直线l：y＝2x＋4上，

∴点F坐标为（0，4）或（2，8）．

若F（0，4），则直线FQ为：y＝+4，

当x＝1时，y＝，

∴Q1（1，）；

若F（2，8），则直线FQ为：y＝x＋9，

当x＝1时，y＝，

∴Q2（1，）．

∴满足条件的点Q有2个，点Q坐标为Q1（1，）， Q2（1，）．

（4）如图，过点H，G分别作HJ⊥x轴，GK⊥x轴，

∵OH=OG，∠HOG=90°，

∴∠HOJ+∠GOK=90°,

∵∠HOJ+∠JHO=90°,

∴∠GOK=∠JHO，

又∵∠HJO=∠OKG=90°,

∴△HJO≌△OKG，

设点G（m,-2m+4）(0≤m≤2)，则H(2m-4,m)

∴M()，

令，

∴,

∴，

∵0≤m≤2，

∴-2≤x≤1，

∴点M在直线（-2≤x≤1）上运动，

当x=1时，y=,

当x=-2时，y=，

∴M的运动路径长=