Question

在△ABC中，∠A=∠B=30°，∠MCN=60°，∠MCN的两边交AB边于E、F两点，将∠MCN绕C点旋转．
（1）画出△BCF绕点C顺时针旋转120゜后的△ACK；
（2）在（1）中，若AE²+EF²=BF²，求证：BF=

2

CF；
（3）在（2）的条件下，若AC=

3

+1，直接写出EF的长．

Answer 1

分析：（1）旋转后CB与CA重合，作∠KCA=∠FCB，截取KC=FC即可；
（2）连结KE，作KH⊥AC于H，先得到∠ACE+∠BCF=60°，再根据旋转的性质得BF=AK，∠KCA=∠FCB，CK=CF，∠KAC=∠B=30°，则∠KCE=∠FCE，可根据“SAS”判断△CKE≌△CFE，所以KE=EF，由于AE²+EF²=BF²，则AE²+KE²=AK²，根据勾股定理的逆定理得∠AEK=90°，且∠KEC=∠FEC=45°，可计算∠BCF=45°，设KH=a，在Rt△KHC中可得KC=

2

a；在Rt△KHA中得AK=2a，所以AK：KC=2a：

2

a=

2

，则BF：CF=

2

，
（3）设KH=a，在Rt△KHC中得HC=a；在Rt△KHA中得AH=

3

a，则AC=AH+HC=

3

a+a=

3

+1，解得a=1，则AK=2，在Rt△AEK中，计算出∠KAE=60°，∠AKE=30°，所以AE=

1

2

AK=1，KE=

3

AE=

3

，即可得到EF=

3

．

解答：（1）解：如图，

（2）证明：连结KE，作KH⊥AC于H，如图，
∵∠A=∠B=30°，∠MCN=60°，
∴∠ACB=120°，
∴∠ACE+∠BCF=60°，
∵△BCF绕点C顺时针旋转120゜后的△ACK，
∴BF=AK，∠KCA=∠FCB，CK=CF，∠KAC=∠B=30°，
∴∠KCE=∠KCA+∠ACE=∠FCB+∠ACE=60°，
∴∠KCE=∠FCE，
在△CKE和△CFE中

CK=CF ∠KCE=∠FCE CE=CE

，
∴△CKE≌△CFE，
∴KE=EF，
∵AE²+EF²=BF²，
∴AE²+KE²=AK²，
∴△AEK为直角三角形，
∴∠AEK=90°，
∴∠KEC=∠FEC=45°，
∴∠BCF=180°-45°-60°-30°=45°，
∴∠KCA=45°，
设KH=a，在Rt△KHC中，KC=

2

a；在Rt△KHA中，AK=2a，
∴AK：KC=2a：

2

a=

2

，
∴BF：CF=

2

，
即BF=

2

CF；

（3）解：设KH=a，在Rt△KHC中，HC=a；在Rt△KHA中，AH=

3

a，
∴AC=AH+HC=

3

a+a=

3

+1，解得a=1，
∴AK=2a=2，
在Rt△AEK中，∠KAE=∠KAC+∠CAE=60°，
∴∠AKE=30°，
∴AE=

1

2

AK=1，
∴KE=

3

AE=

3

，
∴EF=

3

．

点评：本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质以及含30度的直角三角形三边的关系．