Question

已知：正方形ABCD边长为4cm，E，F分别为CD，BC的中点，动点P在线段AB上从B→A以2cm/s的速度运动，同时动点Q在线段FC上从F→C以1cm/s的速度运动，动点G在PC上，且∠EGC=∠EQC，连接PD.设运动时间为t秒.

（1）求证：△CQE∽△APD
（2）问：在运动过程中CGCP的值是否发生改变？如果不变，请求这个值；若改变，请说明理由；
（3）当t为何值时，△CGE为等腰三角形？并求出此时△CGE的面积.

Answer 1

（1）证明： ∵FQ=t， BP=2t
                    ∴QC=2-t， AP=4-2t 
                ∴
             ∵∠QCE=∠A=90^。    ∴△CQE∽△APD；
（2）CGCP的值是一个定值.
        ∵△CQE∽△APD
        ∴∠CQE=∠APD 
       ∵正方形ABCD AB∥CD
        ∴∠APD=∠PDC
         ∵∠EGC=∠EQC
         ∴∠EGC=∠PDC
         ∵∠PCD=∠PCD
         ∴△CGE∽△CDP 
        ∴
        ∴CGCP=CDCE=42=8；
（3）∵△CGE∽△CDP
          ∴△CGE和△CDP的形状相同.
     ① t=0时△CDP为等腰三角形，则△CGE也为等腰三角形. 
         S_△CGE=2
     ②t=1 时△CDP为等腰三角形，则△CGE也为等腰三角形
     ∵    ∴
     S=
     ③t=2 的时候∠EGC不存在.
        答综上所述t=0时，△CGE为了等腰三角形面积为2 
         t=1时，△CGE为等腰三角形面积为