题目内容
如图，在四边形ABCD中，E是BC的中点，且∠AED=∠B=∠C=60°，过点E作EM⊥AD于M．
（1）求证：AB•DE=BE•AE；
（2）求
的值．
（1）求证：AB•DE=BE•AE；
（2）求
| EM | BC |
分析：（1）利用已知得出∠BAE=∠DEC，进而得出△ABE∽△ECD，利用相似三角形的性质求出即可；
（2）利用（1）中所求，进而得出△ABE∽AED，即可得出∠BAE=∠DAE，得出EN=EM，进而利用特殊角的三角函数值求出即可．
（2）利用（1）中所求，进而得出△ABE∽AED，即可得出∠BAE=∠DAE，得出EN=EM，进而利用特殊角的三角函数值求出即可．
解答：
（1）证明：∵∠AED=60°，
∴∠AEB+∠DEC=120°，
∵∠B=60°，
∴∠BAE+∠AEB=120°，
∴∠BAE=∠DEC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABE∽△ECD，
∴
=
，
∴AB•ED=EC•EA，
∵E是BC的中点，
∴EB=EC，
∴AB•DE=BE•AE．
（2）解：过点E作EN⊥AB于点N，
∵AB•DE=BE•AE，
∴
=
，
又∵∠AED=∠B=60°，
∴△ABE∽AED，
∴∠BAE=∠DAE，
∵NE⊥AB，EM⊥AD，
∴NE=EM，
∴sin60°=
=
，
∵BE=EC，
∴
=
=
．
（1）证明：∵∠AED=60°，∴∠AEB+∠DEC=120°，
∵∠B=60°，
∴∠BAE+∠AEB=120°，
∴∠BAE=∠DEC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABE∽△ECD，
∴
| AB |
| EC |
| AE |
| ED |
∴AB•ED=EC•EA，
∵E是BC的中点，
∴EB=EC，
∴AB•DE=BE•AE．
（2）解：过点E作EN⊥AB于点N，
∵AB•DE=BE•AE，
∴
| AB |
| BE |
| AE |
| DE |
又∵∠AED=∠B=60°，
∴△ABE∽AED，
∴∠BAE=∠DAE，
∵NE⊥AB，EM⊥AD，
∴NE=EM，
∴sin60°=
| NE |
| BE |
| ||
| 2 |
∵BE=EC，
∴
| EN |
| BC |
| EM |
| BC |
| ||
| 4 |
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及角平分线的性质和特殊角的三角函数数值等知识，综合性较强，得出NE=EM是解题关键．
练习册系列答案
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（2013•赤峰）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF．
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