题目内容
已知，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，D是线段BC上一点，以AD为边，在AD的右侧作正方形ADEF．直线AE与直线BC交于点G，连接CF．
（1）如图1，当BD＜1时，求证：△ACF≌△ABD；
（2）如图2，当BD＞1时，请在图中作出相应的图形，猜测线段CF与线段BD的关系，并说明理由；
（3）连接GF，判断当线段BD为何值时，△GFC是等腰三角形．
（2）作图如右：…………………………………（4分）
猜测：CF=BD，CF⊥BD………………………（6分）
理由是：同（1）可得△ABD≌△ACF
∴CF=BD，∠ACF=∠ABD=∠ACB=45°
∴∠FCB=90°，∴CF⊥BD………………………（8分）
（3）连接GF
∵AE是正方形ADEF的对角线
∴∠FAE=∠DAE=45°
又AD=AF，AG=AG
∴△AFG≌△ADG
∴FG=DG………………………………………………（10分）
若Rt△CFG是等腰三角形，则CG=CF
设CF=x，得CG=CF=BD=x
①如图3，当BD＜1时，FG=DG=2﹣2x
在Rt△CFG中，根据勾股定理得
FG2=CG2+CF2
∴（2﹣2x）2=2x2
解得：x1=2+
＞1（舍去），x2=2﹣…………（12分）
②如图4，当BD＞1时，∵CG=BD
∴FG=DG=BC=2
在Rt△CFG中，根据勾股定理得
FG2=CG2+CF2，22=2x2
解得：x1=﹣（舍去），x2=
综上所得，当BD等于2﹣ 或 时，
△CFG是等腰三角形…
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