题目内容

如图，已知一动圆的圆心P在抛物线y= $数学公式$ x²-3x+3上运动．若⊙P半径为1，点P的坐标为（m，n），当⊙P与x轴相交时，点P的横坐标m的取值范围是________．

3- $\text{[math]}$ ＜m＜2或4＜m＜3+ $\text{[math]}$
分析：由圆心P在抛物线y= $\text{[math]}$ x²-3x+3上运动，点P的坐标为（m，n），可得n= $\text{[math]}$ m²-3m+3，又由⊙P半径为1，⊙P与x轴相交，可得| $\text{[math]}$ m²-3m+3|＜1，继而可求得答案．
解答：∵圆心P在抛物线y= $\text{[math]}$ x²-3x+3上运动，点P的坐标为（m，n），
∴n= $\text{[math]}$ m²-3m+3，
∵⊙P半径为1，⊙P与x轴相交，
∴|n|＜1，
∴| $\text{[math]}$ m²-3m+3|＜1，
∴-1＜ $\text{[math]}$ m²-3m+3＜1，
解 $\text{[math]}$ m²-3m+3＜1，得：3- $\text{[math]}$ ＜m＜3+ $\text{[math]}$ ，
解 $\text{[math]}$ m²-3m+3＞-1，得：m＜2或m＞4，
∴点P的横坐标m的取值范围是：3- $\text{[math]}$ ＜m＜2或4＜m＜3+ $\text{[math]}$ ．
故答案为：3- $\text{[math]}$ ＜m＜2或4＜m＜3+ $\text{[math]}$ ．
点评：此题考查了二次函数上点的性质、直线与圆的位置关系以及不等式的求解方法．此题难度较大，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用．

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（1）求证：点D一定在抛物线n上．
（2）平行四边形ABCD能否为矩形？若能为矩形，求出这些矩形公共部分的面积（若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积）；若不能为矩形，请说明理由．
（3）若（2）中过A、B、C、D的圆交y轴于E、F，而P是弧CF上一动点（不包括C、F两点），连接AP交y轴于N，连接EP交x轴于M．当P在运动时，四边形AEMN的面积是否改变？若不变，则求其面积；若变化，请说明理由．

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